Etiket: #veribilimi

Monopoly oynarken herkesin bir teorisi vardır: “Laciverti al, oyun biter.” “Demiryolları sağlam para.” “Kahverengi sadece başlangıç için.” Peki bu teoriler ne kadar doğru?

Bir arsanın değerli olması için önce oyuncuların ona basması gerekiyor. Bu yazıda tek bir soruya cevap arıyoruz: Monopoly tahtasında en çok hangi karelere basılıyor? Cevabı formülle değil, oyunu bilgisayara bir milyon tur oynatarak bulacağız.

Tüm kodlar Colab’da, tek tıkla açılıyor: Colab’da aç

Monte Carlo nedir?

Bir şeyin ihtimalini hesaplamak zorsa, onu çok kez rastgele deneyip sonuçları sayabilirsin. Buna Monte Carlo simülasyonu deniyor. Adını Monaco’daki ünlü kumarhane semtinden alıyor; rastgelelik ve şans üzerine kurulu bir yöntem için yerinde bir isim.

Önce cevabını bildiğimiz bir soruyla deneyelim: İki zar atınca toplamın 7 gelme ihtimali kaç? Matematikle cevap 6/36, yani yaklaşık yüzde 16,67.

import random
from collections import Counter
def zar_toplami_dene(atis_sayisi, tohum=1):
    rnd = random.Random(tohum)
    sayac = Counter(rnd.randint(1, 6) + rnd.randint(1, 6) for _ in range(atis_sayisi))
    return sayac[7] / atis_sayisi * 100
for n in [100, 10_000, 1_000_000]:
    print(f"{n:>9,} atış -> 7 gelme oranı: %{zar_toplami_dene(n):.2f}")

      100 atış -> 7 gelme oranı: %20.00
   10,000 atış -> 7 gelme oranı: %16.75
1,000,000 atış -> 7 gelme oranı: %16.65

100 atışta sonuç %20 çıkıyor, epey sapmış. Bir milyon atışta gerçek değere neredeyse yapışıyor. Monte Carlo’nun bütün fikri bu: Yeterince çok denersen rastgelelik dengelenir.

Monopoly’de kartlar, hapis ve çift zar kuralları yüzünden formül çok karışık. Ama simülasyonun mantığı aynı kalıyor.

Tahtayı ve kuralları koda dökmek

Tahtada 40 kare var. Klasik ABD tahtasının kare adlarını bir listeye yazıyoruz; listenin sırası tahtadaki sıra. Simülasyona koyduğumuz kurallar:

• İki zar atılır, toplam kadar ilerlenir.
• Çift atan bir daha atar; üst üste üçüncü çift hapse gönderir.
• Hapse Gir karesine gelen hapse gider.
• 16 Şans kartından 10’u oyuncuyu bir yere gönderir: Başlangıç, Illinois Ave, St. Charles Place, Reading Demiryolu, Boardwalk, hapis, en yakın şirket, iki kez en yakın demiryolu ve 3 kare geri.
• 16 Kamu Fonu kartından 2’si oyuncuyu gönderir: Başlangıç ve hapis.
• Kartlar karıştırılır, çekilen kart destenin altına gider.

Kartları birer metin listesi olarak tutuyoruz. Bir kart çekmek, listenin başındaki elemanı alıp sona koymak demek:

k = sans.pop(0)
sans.append(k)
konum = sans_karti(k, konum)

Simülasyonun kalbi olan simule() fonksiyonu yaklaşık 30 satır. Her turda zar atıyor, kuralları uyguluyor ve piyonun durduğu kareyi bir Counter‘a yazıyor. Kodun tamamı not defterinde; burada sonuçlara bakalım.

Bir milyon tur sonra

Eşit ihtimal olsaydı her kareye yüzde 2,5 düşerdi. Ama tahta hiç de eşit değil. Hapisten hemen çıkan bir oyuncu için en çok basılan 10 kare:

Bu tablodan üç şey çıkıyor:

• Hapis açık ara birinci. Oraya giden üç yol var: Hapse Gir karesi, Şans ve Kamu Fonu kartları, üst üste üç çift. Başka hiçbir kare bu kadar “trafik” almıyor.
• Illinois Ave en çok basılan arsa. Şans destesindeki kartlardan biri doğrudan oraya gönderiyor.
• Demiryolları listede üç kez var. İki Şans kartı “en yakın demiryoluna git” diyor.

Listenin en altında ise Şans kareleri var: Buraya gelen oyuncuların çoğu çektiği kartla başka yere gidiyor. Hapse Gir karesinin oranı ise sıfır, çünkü oraya gelen piyon anında hapse taşınıyor.

Renk grupları: hangisi önde?

Monopoly’de asıl para, bir renk grubunun tamamını alıp ev kurmaktan geliyor. Grupların kare sayısı farklı (2 ya da 3), o yüzden adil karşılaştırma için arsa başına oranı hesaplıyoruz:

GRUPLAR = {
    "Kahverengi": [1, 3], "Açık mavi": [6, 8, 9], "Pembe": [11, 13, 14], "Turuncu": [16, 18, 19],
    "Kırmızı": [21, 23, 24], "Sarı": [26, 27, 29], "Yeşil": [31, 32, 34], "Lacivert": [37, 39],
}

Turuncu ve kırmızı başa baş önde, kahverengi en geride. Asıl sürpriz lacivert: Oyunun en pahalı grubu, ama arsa başına basılma oranı ortalamanın altında. Boardwalk’ı bir Şans kartı kurtarıyor; Park Place ise kendi başına kalıyor.

Turuncunun sırrı: hapisten çıkış

Hapis tahtada 10. kare ve oyuncular oraya çok sık gidiyor. Hapisten çıkan oyuncu iki zar atıyor. Turuncu kareler hapisten tam 6, 8 ve 9 kare ileride.

İki zarda hangi toplamın kaç farklı yolla gelebildiğine bakalım:

 2: █  1/36
 3: ██  2/36
 4: ███  3/36
 5: ████  4/36
 6: █████  5/36
 7: ██████  6/36
 8: █████  5/36
 9: ████  4/36
10: ███  3/36
11: ██  2/36
12: █  1/36

6, 8 ve 9 toplamları en sık gelenlerden. Toplarsak: (5 + 5 + 4) / 36, yani hapisten çıkan bir oyuncunun tek atışta turuncu bir kareye basma ihtimali yüzde 38,9. Hapis ne kadar kalabalıksa turuncu o kadar kazanıyor.

Kırmızının arkasındaki güç ise Şans destesi: Illinois Ave kartı.

Hapiste beklersen ne değişir?

Oyunun sonlarına doğru oyuncular genelde hapiste kalmayı tercih eder. Tahta evlerle dolmuştur ve dolaşmak pahalıdır; hapiste otururken kira ödemezsin ama kira toplamaya devam edersin. Aynı simülasyonu “çift atana kadar bekle” stratejisiyle çalıştırdığımızda:

• Hapis karesinin payı yüzde 6,15’ten yüzde 11,50’ye çıkıyor.
• Turuncu arsa başına yüzde 2,77 ile kırmızının (yüzde 2,73) önüne geçiyor.

Yani oyun ilerledikçe turuncunun avantajı büyüyor. “Turuncuyu al” tavsiyesinin arkasındaki matematik bu.

Sınırlar

Bu simülasyon sadece basılma ihtimalini ölçüyor. Bir grubun gerçekten ne kadar kârlı olduğu arsanın fiyatına, ev maliyetine ve kiraya da bağlı; bunları modele katmadık. Kuralların da klasik sürümünü kullandık, evdeki özel kurallar (Ücretsiz Otopark’ta para toplamak gibi) sonucu değiştirmiyor ama farklı bir tahta sürümü değiştirebilir.

Yine de basılmayan bir arsadan kira alamazsın. O yüzden bu tablo iyi bir başlangıç noktası.

Devamını oku: Netflix’te Ne İzlesem? Basit Bir Öneri Sistemi Yazmak

Kendin dene

1. TUR değerini 1.000’e indir. Sonuçlar ne kadar oynuyor? Kaç turdan sonra sıralama oturuyor?
2. Şans destesinden Illinois kartını çıkar. Illinois Ave hâlâ en çok basılan arsa mı?
3. Demiryollarını bir grup olarak ekle ([5, 15, 25, 35]). Arsa başına oranları nasıl?
4. Hapiste en fazla bir tur beklenebilsin. Turuncunun avantajına ne oluyor?

Devamını oku: Futbol Veri Projesi 1: Maç Verisini Toplamak ve Temizlemek

Monopoly, Hasbro’nun tescilli markasıdır. Bu yazı oyunla resmî bir bağlantı taşımıyor; kare adları klasik ABD tahtasından, görseller kendi grafiklerimiz.